墓地里的百萬黃金(墓地里的巨額黃金)

中金網今日介紹"如何證明黃金分割點(怎樣證明黃金分割點)"，希望小金從網上整理的如何證明黃金分割點(怎樣證明黃金分割點)對您幫助。

這是一道中考數學與黃金分割有關的壓軸題，通常在中考數學中很少見到黃金分割的問題，別說壓軸題了，就是普通的小題，也是難得一見的。所以這道題特別引起老黃的注意。題目是這樣的：

正方形ABCD，點M為邊AB的中點.

(1)如圖1,點G為線段CM上的一點，且∠AGB=90度，延長AG，BG分別與邊BC，CD交于點E，F.求證：①BE=CF；②BE^2=BC·CE.

(2)如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE^2=BC·CE，連接AE交CM于點G，連接BG延長交CD于點F，求tan∠CBF的值.

分析：(1)①很明顯要通過全等三角形證明對應邊相等。觀察兩條線段所在的三角形，它們分別在直角三角形ABE和直角三角形BEG中，湊一湊全等的條件。在正方形中，有邊AB=CB，內角都是直角，所以∠ABE=∠BCF=90度.

在直角三角形ABE和直角三角形BEG中，兩組銳角都互余，關鍵這兩組互余的銳角有一個公共角AEB，因此另外兩個角相等，即∠BAE=∠CBF，這是等角等余定理的應用。

這就構成了兩個三角形“角邊角”的全等條件，因此它們的對應邊BE=CF。

②顯然要利用有公共邊的相似三角形的邊的關系。然而BE做為公共邊的相似三角形是直角三角形ABE和直角三角形BGE，它們是推不出這個關系的。因此BE要轉換，轉換成CF也解決不了。通過觀察，如果能夠證明三角形CEG和三角形CGB相似，且CG等于BE，那么就可以得到要證明的結論。

首先，由于M是直角三角形ABG斜邊AB的中點，所以中線GM等于斜邊的一半，也就等于AM。由等邊對等角，就有角GAM等于角AGM。而角AGM等于角CBG，它們是全等三角形的對應角。

所以角CGF等于它的對頂角BGM，而角BGM又等于角CFG，因為它們分別是角AGM和角CBG的余角，即等角等余定理的應用。

根據等角對等邊，就有CG=CF。而CF又等于BE，從而CG就等于BE。

另一方面，角CGE和角AGM是對頂角，從而角CGE也等于角CBG。這就構成了相似三角形的“兩組內角相等”的條件。由相似三角形的邊成比例的關系，就可以推出CG^2=BE^2=BC·CE.

(2)這個角的正切值很好表示出來，就是CF/BC.很明顯的，只要能證明BE等于CF，就可以得到答案。因為點E其實就是BC靠近端點C的黃金分割點，這個比值是可求的。甚至是可以直接寫出來的。

將CE=BC-BE代入BE^2=BC·CE，可以得到關于BE的二次方程，運用求根公式，就可以得到BE關于BC的表達式，也就是得到它們的比值。

接下來證明BE=CF，這無疑是第一小題的一個逆過程。然而直接反推，并不能實現，那應該怎么辦呢？只要我們能夠證明∠AGB=90度，由(1)就可以直接得到BE=CF。

為此，我們過G作AB的垂線段GN，則直角三角形GMN和直角三角形CMB相似。再結合平行線截取線段成比例的關系，可以得到兩組線段（邊）的比例關系，從而轉換出MN，GN關于BC的表達式。再運用勾股定理，就可以得到GM=BC/2，從而證明∠AGB=90度，問題就解決了。下面組織解題過程：

(1)證明：在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABE=∠BCF=90度，

在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90度，

∵∠AGB=90度，∴在Rt△BEG中，∠CBF+∠AEB=90度，

∴∠BAE=∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△BCF(ASA)，

①∴BE=CF.

②在Rt△ABG中，點M是AB的中點，

∴GM=AB/2=AM,∴∠GAM=∠AGM=∠CBG,

∴∠CGF=∠BGM=∠CFG(等角等余),∴CG=CF=BE，

又∠CGE=∠AGM=∠CBG,∴△CGE∽△CBG,

∴CG/CB=CE/CG，即CG^2=BE^2=BC·CE.

(2)解：由BE^2=BC·CE,有BE^2=BC·(BC-BE),

從而BE^2+BC·BE-BC^2=0,解得：BE=(根號5-1)BC/2(舍去負值),

過G作GN⊥AB于點N,則Rt△GMN∽Rt△CMB,

GN/MN=CB/MB=AB/MB=2,

又GN/BE=AN/AB,即4MN/((根號5-1)BC)=(AB/2+MN)/AB=1/2+MN/BC,

解得MN=根號5BC/10,GN=2倍根號5BC/10,

MG=根號(MN^2+GN^2)=BC/2=AB/2,∴∠AGB=90度,由(1)有BE=CF,

∴tan∠CBF=CF/BC=BE/BC=(根號5-1)/2.

第二小題還有另一種解法。這種方法不是很常規，但特別簡便，大家可以看看這樣解是否合理。它運用的是反證法，初中階段，也已經學過反證法了。

(2)解：由BE^2=BC·CE知,E點是BC靠近點C的黃金分割點,

若∠AGB≠90,則由(1)可知，存在E’滿足BE’^2=BC·CE’,

即E’點也是BC靠近點C的黃金分割點,矛盾！

∴∠AGB=90度,由(1)有BE=CF,∴tan∠CBF=CF/BC=BE/BC=(根號5-1)/2.

你對最后這種解法有什么看法，歡迎在評論區中留下樂的觀點。

今日中金網關于如何證明黃金分割點(怎樣證明黃金分割點)的介紹就到此。