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福利時間

今天我們將送出由高等教育出版社提供的優(yōu)質(zhì)科普書籍《朗道傳》。

列夫·達(dá)維多維奇·朗道（LevDavidovichLandau，1908-1968），蘇聯(lián)猶太人，號稱世界上最后一個全能的物理學(xué)家，因凝聚態(tài)特別是液氦的先驅(qū)性理論，被授予1962年諾貝爾物理學(xué)獎。

本書是第一本中文朗道傳記，作者是朗道夫人的甥女邁婭·比薩拉比。與以往介紹朗道的文章大都著重于朗道的科學(xué)成就和學(xué)術(shù)風(fēng)格不同，本書更多地從私生活角度揭示了朗道管控自己和追求幸福的方式，可以幫助了解朗道其人及其學(xué)派，大為提升學(xué)習(xí)《理論物理學(xué)教程》的興趣。

只要你認(rèn)真閱讀下面的這篇文章，思考文末提出的問題，嚴(yán)格按照互動：你的答案格式在評論區(qū)留言，就有機(jī)會獲得獎品！

作者：ChrisBudd翻譯：Dannis審校：Nuor

我們大多數(shù)人都聽說過這個叫做黃金比例的數(shù)。比如說，它出現(xiàn)在《達(dá)芬奇密碼》這本書和改編的電影中，還出現(xiàn)在了許多文章、書籍，以及研究項(xiàng)目中，旨在向我們展示數(shù)學(xué)對現(xiàn)實(shí)世界的重要價(jià)值。許多作者（包括《達(dá)芬奇密碼》一書的作者）都將其視作自然界所有美麗圖樣的基石，有時它還被稱作“神圣比例”。

有人說很多很多藝術(shù)品或者建筑都蘊(yùn)含了黃金分割比在其中，譬如，據(jù)稱帕特農(nóng)神廟和金字塔都是按照這個比例建造的。也有人說，人體上也有黃金比例的出現(xiàn)，比如說一個成年人的身高和他肚臍的高度的比值，再或者他手臂的長度與手掌長度的比值。

然而，在我研究數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用的整個學(xué)術(shù)生涯中，確切的講我只遇到了兩次這個“黃金比例”。是的，就兩次！所以，這些宣稱與“黃金比例”有關(guān)的事情是真的嗎？

到底什么是黃金分割比？

首先我們來回憶一下到底什么是所謂的黃金比例。它是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的如下的概念。設(shè)想你畫了一條線段，還想把它分成兩部分。你想把它照這個樣子分割：整條線段的長度和較長一段的長度的比值，要等于較長一段長度于較短一段長度的比值。那么這個比值會是多少呢？

我們希望分割出A，B使得（A+B）/A=A/B

運(yùn)用一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)就能得到這個比值：

Φ是由兩段長度的比值決定的，這意味著無論何時，無論你在觀察什么東西——一張臉也好，一幢房子也好——你都會找到這樣一個比例關(guān)系。

人體中的黃金分割比

黃金比例應(yīng)該算得上是人體中眾多比例的核心了，比如說一個完美的臉型，或者肚臍的高度與身高的比值。確實(shí)，據(jù)說完美的臉型上的每一部分的比例都跟黃金比例有關(guān)。

你可以把各種各樣的長方形疊加在一張漂亮的臉蛋上，然后宣稱從這些長方形的比值中可以“推導(dǎo)”出美麗來

然而這些都不是真的，而且差的不是一星半點(diǎn)。人體上有許多可能的比值，許多都是在1~2之間。要是你考慮足夠多的這些值，你應(yīng)該能得到一堆接近黃金比例（在1.618附近）的數(shù)。當(dāng)你測量的這些東西不是完全嚴(yán)格定義的時候尤其如此，因?yàn)槟阌锌赡苋ジ淖兌x以期獲得你“想要”的比例。

要是你觀察得足夠仔細(xì)，你還會發(fā)現(xiàn)人體上有接近1.6，5/3，3/2，根號2，42/46等等這樣的比值。確實(shí)，大多數(shù)這種介于1和2之間的數(shù)都可以用人體上的兩部分的比值來近似得到。類似的這種虛假相關(guān)模式也可以在太陽系中找到（當(dāng)然，這其中有許許多多不一樣的比例供你選擇）。還有一點(diǎn)要知道的是，所謂黃金比例是一個無理數(shù)（如下文所示），也就是說你不可能在任何測量中確切觀察到它。

所有這些都是人類大腦尋找虛假相關(guān)的實(shí)例。實(shí)際上，給定了足夠多的數(shù)據(jù)之后，人們可以為任何一種假設(shè)找到相符的模式形式。一個好的證明這種說法的方法就是在一個大晴天出門去看看云彩——早晚你總能找到一朵長著全新模樣的云彩，舉個例子，比如說像BBC報(bào)道過的這個像布狄卡女王一樣的云彩。

一旦虛假相關(guān)被用于通過數(shù)據(jù)證明某個觀點(diǎn)時，這種現(xiàn)象是十分危險(xiǎn)的。比方說，（虛假相關(guān)）可能會導(dǎo)致錯誤的指控，甚至?xí)?dǎo)致錯誤的定罪。

螺線、黃金比例及其他東西

如果你取一條線段，分成A、B兩端并保證A/B滿足黃金比例，然后得到一個長寬分別為A+B和A的矩形。這樣一個矩形就叫做黃金矩形。

黃金矩形由一塊正方形（白色）和一個小號的長方形（灰色）組成。小號的長方形也是一個黃金矩形

我們剛剛得到的這個黃金矩形由一塊正方形和一塊小一點(diǎn)的長方形（它自身也是一個黃金矩形）組成。這個黃金矩形同樣由一塊正方形和一塊再小一點(diǎn)的長方形（自身還是一個黃金矩形）組成。以此類推。

簡單地把這些黃金矩形的正方形中畫1/4圓并相連，通過這樣一個越來越小的黃金矩形的隊(duì)列我們可以形成一個看起來像螺線的東西。

由黃金矩形構(gòu)造出的螺線形狀

據(jù)說這個類似螺線的形狀經(jīng)常出現(xiàn)在自然界和藝術(shù)領(lǐng)域的許多地方。比如鸚鵡螺殼的形狀，星系的形狀，颶風(fēng)的形狀甚至是波的形狀。

這里就有兩個問題了。首先這個形狀并不是螺線。它是由一列圓弧曲線組成的，當(dāng)你從一個弧線來到另一個弧線的時候，螺線的曲率是跳變的。在任何一種自然現(xiàn)象中我們都幾乎看不到這種跳變。實(shí)際上，這個形狀只是真實(shí)螺線的一種近似。它近似的這種螺線形式是一種對數(shù)螺線。這種螺線在自然界中很常見，它們遵循極坐標(biāo)方程：

這里e是自然對數(shù)的底。自然界中我們到處都可以看到這種螺線，會根據(jù)具體環(huán)境取不同的a和b的值。這種曲線如此普遍是因?yàn)樗鼈冇羞@種自相似的特性。這意味著如果你把一條螺線以任何固定角度旋轉(zhuǎn)，你得到的會是一條按原始螺線縮放的螺線。

所謂的這種黃金螺線有一個特定的b值，

其中Φ是黃金比例（角度以弧度測量）。

這個數(shù)值為何特殊是沒有任何理由的。鸚鵡螺殼是一條對數(shù)螺線是因?yàn)樽韵嗨频奶匦栽试S螺殼能在生長的同時不改變形狀。觀測到的鸚鵡螺殼的對應(yīng)的b值和上面的黃金螺紋沒有一點(diǎn)關(guān)系，事實(shí)上的螺殼的b值最常見是取0.18。

藝術(shù)與建筑

這里我們要小心一點(diǎn)。對于一些藝術(shù)家，像勒.柯布西耶，就故意在他們的作品中運(yùn)用黃金比例。這是因?yàn)閾?jù)說黃金矩形的比例在人眼睛是極其舒適的，并且從審美的角度來講，相較于其他矩形我們更青睞黃金矩形，從而可以將其應(yīng)用于藝術(shù)作品中。接著就有說法稱在任何一個藝術(shù)或者建筑作品中都能看到黃金比例。

證明黃金矩形使人感到舒適的證據(jù)其實(shí)是相當(dāng)薄弱的。心理學(xué)研究表明，不同的矩形對于不同人群似乎呈現(xiàn)出一個很寬泛的喜好范圍，其中根號2比1的比例經(jīng)常比其他情況更受青睞。測試一下你自己，看看以下矩形中你更喜歡哪一個。

根據(jù)基斯·德夫林的書《德夫林之角度：不會消失的神話》（Devlin"sangle:Themyththatwon"tgoaway）中所述，黃金比例與審美學(xué)掛鉤的說法主要來自于兩個人，其中一個為誤引，另一個為杜撰。被誤引的作者是盧卡·帕喬利，他在1509年寫過一本叫做《神圣比例》的書。這本書以黃金比例命名，但是并不是在探討基于黃金比例的審美學(xué)理論或者說什么將黃金比例應(yīng)用于藝術(shù)和建筑的。這個觀點(diǎn)是在1799年被張冠李戴給帕喬利的。

帕喬利是列奧納多·達(dá)·芬奇的密友，于是經(jīng)常有說法說列奧納多自己也在自己的繪畫中應(yīng)用黃金比例。這一點(diǎn)并沒有直接證據(jù)證明。其中最著名的例子可能就是“維特魯威人”了，這幅畫中的比例并不符合黃金比例，而列奧納多確實(shí)僅僅提及了他作品中的整體的數(shù)字比值。設(shè)想在他作品中出現(xiàn)的這些黃金比例和在自然界中尋找這個比例是同一回事。

德夫林將黃金比例的普及歸因于19世紀(jì)的德國心理學(xué)家阿道夫·蔡辛。蔡辛聲稱黃金比例是可以描述“自然界與藝術(shù)領(lǐng)域的美和完善度”的普適性的規(guī)律，“…它作為一種重要的精神意義上的理想產(chǎn)物，滲透到了所有結(jié)構(gòu)、形式和比例當(dāng)中，無論是宇宙還是個體的、有機(jī)還是無機(jī)的、聲學(xué)還是光學(xué)的”。（以上）這是一個顯而易見的偽造的產(chǎn)物。然而蔡辛的工作之后影響了許多人，并且很大程度上導(dǎo)致了這個現(xiàn)代神話的形成。

這個神話的另一個例子，是據(jù)說雅典衛(wèi)城的一部分，即帕特農(nóng)神廟的比例中也出現(xiàn)了黃金比例。

所謂的在帕特農(nóng)神廟上疊加出來的黃金螺線。然而并沒有證據(jù)表明在這個建筑的設(shè)計(jì)中運(yùn)用了黃金比例。背景所用的帕特農(nóng)神廟的圖片來源：OyvindSolstad,CCBY2.0

希臘學(xué)者中沒有證據(jù)證明這一點(diǎn)，而且帕特農(nóng)神廟中運(yùn)用了黃金比例的說法只能追溯到19世紀(jì)50年代。進(jìn)一步講，對于帕特農(nóng)神廟的實(shí)際測量并沒有給出尤其接近于黃金比例的數(shù)值——除非你很仔細(xì)地去特意挑選用于測量的矩形。

實(shí)際上，帕特農(nóng)神廟看起來十分和諧，是來自于線條的聰明選取——它們看似平行實(shí)則會匯聚或者會彎曲，所以事實(shí)上不可能去進(jìn)行足夠精確的測量，以獲得確切的比例。因?yàn)榕撂剞r(nóng)神廟中的比例會隨著高度變化，所以不太可能找到一個滿足黃金比例的整體的劃分形式。

同樣的情況適用于其他希臘建筑：沒有證據(jù)顯示希臘人在他們的藝術(shù)或者建筑當(dāng)中考慮或者使用過黃金比例以期得到審美上的愉悅。

這一點(diǎn)也適用于音樂。據(jù)說黃金比例在音樂創(chuàng)作當(dāng)中十分重要——實(shí)際上并沒有證據(jù)證明這一點(diǎn)。然而在音樂創(chuàng)作當(dāng)中，重要的是音階，音階是非常接近于

這個數(shù)——這個數(shù)才是音樂的核心，而非黃金比例。

這些關(guān)于黃金比例的經(jīng)久不衰的傳言是有著很現(xiàn)實(shí)的危險(xiǎn)的。學(xué)童們和其他許多人被灌輸了一種關(guān)于數(shù)學(xué)起作用的錯誤方式。而早晚他們會發(fā)現(xiàn)這是不正確的，從而對數(shù)學(xué)解釋世界的真實(shí)能力喪失信念。

偉大的現(xiàn)實(shí)

雖然上面一直對黃金比例持否定的態(tài)度，但是在這一節(jié)我想強(qiáng)調(diào)一下黃金比例究竟是怎樣令人驚奇的一個數(shù)——無需這些虛假的說法來使它變得特別。

首先，讓我們來看看一個和黃金比例真實(shí)有關(guān)的自然現(xiàn)象。黃金比例與著名的斐波那契數(shù)列密切相關(guān)：

斐波那契數(shù)列確實(shí)會出現(xiàn)在自然界當(dāng)中，因?yàn)樗c人口增長的方式以及圖形彼此契合的方式有關(guān)。舉個例子，這個數(shù)列出現(xiàn)在向日葵上葵花子的漩渦中，使得它們能以一種有序的形式彼此契合；它還出現(xiàn)在一些植物的葉子排布當(dāng)中，這樣的排列使得植物能夠獲得最多的光照。這樣一來就有可能觀察到在某些自然現(xiàn)象中出現(xiàn)的接近黃金比例的比值。

這些現(xiàn)象包括蜂巢中雄峰對于雌蜂的分配問題，這涉及到了蜜蜂的多代繁殖問題。

斐波那契在思考理想情況下兔子數(shù)目的增長問題時想到了這個數(shù)列。

但是也許更有趣的是黃金比例的迷人的數(shù)學(xué)特性。但是我想提一點(diǎn)尤其迷人的、并且是使黃金比例有別于其他數(shù)的特性：它的極端的無理性。

無理數(shù)是那些不能被寫作分?jǐn)?shù)形式，并且在十進(jìn)制下寫作無限不循環(huán)形式的數(shù)。這個事實(shí)意味著很難在自然界觀察到無理數(shù)。黃金比例有個最奇妙的特性：它是這些無理數(shù)中最具無理性的數(shù)。這意味著，你不僅無法把它用一個分?jǐn)?shù)表示，甚至都不可能輕易地用一個分?jǐn)?shù)來近似表示它。

由于很難用分?jǐn)?shù)近似表示黃金比例，對于那些研究同步進(jìn)程的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家來說，黃金比例很有用處。這種情況出現(xiàn)在當(dāng)一個擁有固有頻率的系統(tǒng)被擁有不同頻率的東西受迫運(yùn)動，并且同步于受迫頻率。一個例子便是人體對于每天的日照頻率的同步性。第二個例子就是地球的氣候同步于它繞太陽的軌道的自然周期。

然而，同步性自身也會成為一個問題，會帶來系統(tǒng)中的不需要的共振（比如行進(jìn)中的隊(duì)伍走過懸索橋時會帶來橋體的劇烈振動）。通過選取兩個比例為1：Φ的頻率，我們可以避免同步性——得益于黃金比例的極端無理性。這個極為有用的特性被應(yīng)用于腦科學(xué)研究、昆蟲種類研究，還被大氣科學(xué)家以及航空制造業(yè)的人們應(yīng)用。

所以黃金比例確實(shí)是扮演了關(guān)鍵角色，但是不是以你經(jīng)常在神話演義之類的東西中讀到的那樣。這一點(diǎn)是多么的遺憾啊！這形成了一個可愛的悖論：關(guān)于黃金比例的最有趣的東西恰恰在于它不是用來做比例的。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio

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編輯：aki

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